1. Introducere
Istoria fractalilor nu este lungă. A început brusc, în 1975, cu lucrarea
revoluţionară a matematicianului Benoit Mandelbrot, "O teorie a
seriilor fractale", care mai târziu a devenit cartea sa manifest
"Geometria fractală a naturii". Mandelbrot a inventat cuvântul "fractal"
pentru a reuni munca multora dinaintea sa.
1.1. Primii fractali
Matematicieni ca Waclaw Sierpinski, David Hilbert, George Cantor şi
Helge von Koch au creat primii fractali, în general ca exerciţii
abstracte, neavînd nici o idee despre semnificaţia lor. Mulţi dintre ei
considerau aceste forme patologice, dizgraţioase sau chiar
dezgustătoare. Ce şocaţi ar fi acum să afle că sunt mai cunoscuţi tocmai
prin acele forme care i-au îngrozit mai mult. Câţiva dintre aceşti
pionieri aveau motive întemeiate pentru dezgustul lor, pentru aceste
"aberaţii" geometrice. Ei au simţit că descoperiseră ceva ce sfida şi
ameninţa câteva din convingerile cele mai preţioase. O evaluare
ulterioară ne arată că perioada lor (aproximativ 1875-1925) era de fapt o
perioadă de criză în matematică. Iar şi iar, matematicienii dădeau
peste forme bizare care intrau în contradicţie cu viziunea lor despre
spaţiu, suprafaţă, distanţă şi dimensiune.
1.2. Definiţia fractalilor
În 1982, Mandelbrot şi-a extins două eseuri anterioare, creînd lucrarea
deschizătoare de drumuri "Geometria fractală a naturii". El a inventat
cuvântul "fractal" (din latinescul "frangere" care înseamnă "a sparge în
fragmente neregulate"), astfel încât inversele forme au putut fi
unificate sub un singur nume. Pentru a fi clasificată oficial ca fractal,
o formă trebuie să aibă dimensiunea Hausdorff-Besicovitch mai mare
decât dimensiunea sa topologică tradiţională. Pe scurt, fractalii sunt
toate acele ciudăţenii care umplu spaţiul şi pe care matematicienii le
abandonaseră ca fiind dezarmant de complexe. Mandelbrot nota patetic:
"deoarece cuvântul algebra derivă din cuvântul arab jabara (a lega împreună), între cuvintele fractal şi algebră este o contradicţie etimologică".
1.3. Geometria fractală
Benoit Mandelbrot şi-a întemeiat geometria fractală bazându-se în
principal pe simularea sa încununată de succes a tendinţei preţurilor
bunurilor de consum, iar analiza pieţii rămâne una din cele mai
atrăgătoare aplicaţii ale geometriei fractale. Piatra Filosofică a
oricărui analist al pieţii este, desigur, să precizeze comportarea
preţurilor cu destulă exactitate pentru a se umple de bani cât mai
repede. Dacă cineva a pus mâna pe aceasta Piatră, probabil că îşi
foloseşte câteva din miliardele sale pentru a-şi apăra secretul. În
domeniul pieţii, ca şi în alte domenii în care fractalii şi haosul dau
rezultatele, rareori se dovedesc atât de folositori pentru prezicere, pe
cât sunt pentru simulare.
1.4. Simularea fractală
Simularea fractală poate modela şi prezice natura general statistică a
unui sistem, fără să-i prevadă comportarea specifică într-un anumit
moment. De exemplu, simulările din 1953 ale lui Mandelbrot asupra
preţului bumbacului continuau sa prezică cu exactitate cantitatea de
variaţie din preţul bumbacului, atât lunară cât şi anuală. Totuşi, ele
nici măcar nu pot pretinde cât ne indică preţul bumbacului în 2002.
2. Exemple de fractali
Prin anii 1980, grafica pe calculator a progresat într-atât încât forme
ca "Linia de coastă Koch" şi "Covorul lui Sierpinski" puteau fi
reprezentate cu detalii explicite. "Geometria fractală a naturii" era o
galerie a acestora şi a altor forme geometrice, dintre care multe nu
fuseseră văzute niciodată. Multe dintre ele erau simple automate
celulare în care fiecare linie era transformată repetat în linii mai
mici. După ce a lucrat o perioadă cu fractalii "naturali"
auto-reflectivi, Mandelbrot a descoperit că procesele iterative similare
pot produce construcţii matematice abstracte cum ar fi faimoasa "serie
Mandelbrot" şi "seria Julia". Ca şi alţi fractali, aceste serii au fost
descoperite cu mult înainte de Mandelbrot, dar erau atât de complexe
încât necesitau calculatoare puternice pentru a le cerceta şi vizualiza.
Unul dintre primii şi cei mai faimoşi fractali matematici a fost
inventat de un astronom. La începutul anilor 1960, Michel Hanon de la
Observatorul din Nisa, în Franţa, a observat o comportare tulburătoare
într-un simplu model al stelelor care orbitează într-o galaxie. Câteva
dintre orbite erau line şi stabile, în timp ce altele păreau aproape
aleatoare. La început, el şi colegii lui au ignorat pur şi simplu
orbitele anormale presupunînd că ele apar datorită unor erori de calcul
inexplicabile. În cele din urmă, Henon a descoperit că acest tip de
comportare haotică era o parte esenţială a dinamicii orbitelor stelare.
2.1. Fractalii ca o artă
Chiar înainte ca fractalii să fie larg acceptaţi ca matematică
adevărată, imaginile pe care ei le produceau au devenit foarte populare.
Matematicienii artişti, cum ar fi Richard Voss, Greg Turk şi Alan
Norton au perfecţionat procedurile de bază ale lui Mandelbrot pentru a
creea peisaje uimitoare, atât realiste cât şi abstracte. Brusca revenire
a matematicii ca artă a fost mult întârziată. Ştiinţa şi matematicile
secolelor al XIX-lea şi al XX-lea pierduseră legătura cu vizualul şi
intuitivul. Teoriile moderne, ca relativitatea şi mecanica cuantică,
sunt frumoase şi elegante dar trebuie să fii un Albert Einstein sau
Erwin Schrodiger pentru a le aprecia frumuseţea. Pe de altă parte, atât
nespecialiştii cât şi matematicienii pot aprecia chiar şi cea mai
abstractă imagine fractală.
2.2. Fractalii şi ştiinţa
În timp ce fractalii câştigau toate premiile la expoziţiile de grafică
pe calculator, aproape toate disciplinele ştiinţifice descopereau
frumoasele lor modele haotice. Fizicienii, trasînd grafic starea
particulelor, găseau tulburătoare opere de artă apărînd pe imprimantele
lor. Biologii şi psihologii diagnostichează "boli dinamice", care apar
când ritmurile fractale devin desincronizate. Seismologii chiar au
descoperit valuri fractale care străbat scoarţa terestră. Meteorologii,
economiştii, chimiştii, hidrologii şi aproape toate ramurile inginereşti
se întâlneau cu forme care erau mult mai frumoase decat previzibile.
În anii 1980, fractalii răsăreau din fiecare ecuaţie sau procedură
binecunoscută, de la metoda lui Newton până la banala funcţie cosinus.
La începutul anilor 1980, matematicianul Michel Barsley s-a alăturat
rândurilor mereu crescînde de "fractalieri". Când era copil, Michel a
fost fascinat în mod deosebit de anumite ferigi. Nu a putut stabili
exact ce conferea ferigilor frumuseţea lor magică decât mulţi ani mai
târziu. Observând modul în care fiecare frunză se aseamană cu întreagul,
el a scris un program simplu pe calculator pentru a modela aceste
caracteristici. Imaginea rezultată era mult mai reală decât s-a aşteptat
şi a devenit în curând unul dintre cei mai faimoşi fractali in lume.
Barnsley a continuat să dezvolte o metoda nouă, unică, de desenare a
fractalilor: "Jocul Haosului". Chiar şi mai important, în 1985, Barnsley
şi John Elton au demonstrat că orice imagine din lume poate fi
reprezentată cu ajutorul unei binecunoscute categorii de fractali.
Acesta era un pas uriaş înainte pentru o comunitate intelectuală
inundată de fractali, dar căreia îi lipsea un sistem inteligibil pentru
reprezentarea lor. O tehnică creea mulţi fractali, alta pornea automate
celulare şi o alta simula înregistrările grafice ale cutremurelor, iar o
tehnică diferită era necesară pentru a realiza minunatele vârtejuri şi
focalizări. Barnsley şi Elton au prevăzut metoda unică şi simplă de
realizare a aproape tuturor imaginilor auto-reflective, incluzînd şi
toate imaginile despre care nimeni nu se gândise că ar fi
auto-reflective.
3. Aplicaţii pentru fractali
Prima aplicaţie majoră a muncii lor era comprimarea imaginii. Prin
trasformarea lor în fractali, Barnsley era capabil să comprime imagini
foarte mari în coduri foarte mici, obţinînd un raport de comprimare de
peste zece mii la unu. Comprimarea fractală a imaginii creează noi
posibilităţi captivante, cum ar fi transmiterea in timp real a
imaginilor video în mişcare prin liniile telefonice normale.
Din anii 1990, fractalii sunt larg folosiţi. Producţii cinematografice
importante îi folosesc pentru efecte speciale, sistemele de redare
grafică pe calculator îi folosesc pentru a creea structuri naturale,
oamenii de ştiinţă şi matematicienii i-au transformat într-o unealtă
indispensabilă pentru munca lor. Pe măsură ce potenţialul acestei noi
geometrii este recunoscut din ce în ce mai mult şi calculatoarele din ce
în ce mai rapide fac interacţiunea mai uşoară, instrumentelele de
desenare fractală vor deveni parte a majorităţii sistemelor de grafică
pe calculator.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu